Правообладателям

Задачи по планиметрии.   Прасолов В.В.

5-е изд., испр.и доп.—М.: 2006.— 640 с. 

Книга может использоваться в качестве задачника по геометрии для 7—11 классов в сочетании со всеми действующими учебниками по геометрии. В неё включены нестандартные геометрические задачи несколько повышенного по сравнению со школьными задачами уровня. Сборник содержит около 1900 задач с полными решениями и около 150 задач для самостоятельного решения. С помощью этого пособия можно организовать предпрофильную и профильную подготовку по математике, элективные курсы по дополнительным главам планиметрии.

Материалы данного пособия полностью покрывают тематику и сложность заданий олимпиад всех уровней и всех видов экзаменов, включая ЕГЭ и вступительные экзамены в вузы.

Для школьников, преподавателей математики, руководителей математических кружков, студентов педагогических институтов и университетов.

 

Формат: pdf

Размер: 4,3 Мб

Скачать / Download файл    

 

 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 10

Глава 1. Подобные треугольники 11

§ 1. Отрезки, заключённые между параллельными прямыми (12). § 2. От-

ношение сторон подобных треугольников (13). § 3. Отношение площадей

подобных треугольников (15). § 4. Вспомогательные равные треуголь-

ники (16). § 5. Треугольник, образованный основаниями высот (17).

§ 6. Подобные фигуры (18). Задачи для самостоятельного решения (18).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Глава 2. Вписанный угол 30

§ 1. Углы, опирающиеся на равные дуги (31). § 2. Величина угла меж-

ду двумя хордами (32). § 3. Угол между касательной и хордой (33).

§ 4. Связь величины угла с длиной дуги и хорды (34). § 5. Четы-

ре точки, лежащие на одной окружности (35). § 6. Вписанный угол

и подобные треугольники (36). § 7. Биссектриса делит дугу попо-

лам (37). § 8. Вписанный четырёхугольник с перпендикулярными диа-

гоналями (38). § 9. Три описанные окружности пересекаются в одной

точке (39). § 10. Точка Микеля (40). § 11. Разные задачи (40). Задачи

для самостоятельного решения (41).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Глава 3. Окружности 55

§ 1. Касательные к окружностям (56). § 2. Произведение длин отрезков

хорд (57). § 3. Касающиеся окружности (58). § 4. Три окружности одно-

го радиуса (59). § 5. Две касательные, проведённые из одной точки (59).

§ 6. Применение теоремы о высотах треугольника (60). § 7. Площади

криволинейных фигур (61). § 8. Окружности, вписанные в сегмент (61).

§ 9. Разные задачи (62). § 10. Радикальная ось (63). § 11. Пучки окруж-

ностей (65). Задачи для самостоятельного решения (66).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Глава 4. Площадь 81

§ 1. Медиана делит площадь пополам (81). § 2. Вычисление площа-

дей (82). § 3. Площади треугольников, на которые разбит четырёхуголь-

ник (83). § 4. Площади частей, на которые разбит четырёхугольник (83).

§ 5. Разные задачи (84). § 6. Прямые и кривые, делящие фигуры на

равновеликие части (85). § 7. Формулы для площади четырёхугольни-

ка (86). § 8. Вспомогательная площадь (87). § 9. Перегруппировка пло-

щадей (88). Задачи для самостоятельного решения (89).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Глава 5. Треугольники 101

§ 1. Вписанная и описанная окружности (102). § 2. Прямоугольные тре-

угольники (103). § 3. Правильный треугольник (104). § 4. Треугольник

с углом 60 или 120 (105). § 5. Целочисленные треугольники (106).

§ 6. Разные задачи (106). § 7. Теорема Менелая (109). § 8. Теорема Че-

вы (111). § 9. Прямая Симсона (113). § 10. Подерный треугольник (115).

§ 11. Прямая Эйлера и окружность девяти точек (116). § 12. Точки Бро-

кара (117). § 13. Точка Лемуана (119). Задачи для самостоятельного

решения (121).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Глава 6. Многоугольники 151

§ 1. Вписанные и описанные четырёхугольники (151). § 2. Четырёх-

угольники (154). § 3. Теорема Птолемея (155). § 4. Пятиугольники (156).

§ 5. Шестиугольники (157). § 6. Правильные многоугольники (157).

§ 7. Вписанные и описанные многоугольники (160). § 8. Произвольные

выпуклые многоугольники (161). § 9. Теорема Паскаля (161). Задачи

для самостоятельного решения (162).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Глава 7. Геометрические места точек 183

§ 1. ГМТ — прямая или отрезок (183). § 2. ГМТ — окружность или

дуга окружности (184). § 3. Вписанный угол (185). § 4. Вспомогатель-

ные равные или подобные треугольники (186). § 5. Гомотетия (186).

§ 6. Метод ГМТ (186). § 7. ГМТ с ненулевой площадью (187). § 8. Теоре-

ма Карно (187). § 9. Окружность Ферма—Аполлония (188). Задачи для

самостоятельного решения (188).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Глава 8. Построения 197

§ 1. Метод геометрических мест точек (197). § 2. Вписанный угол (198).

§ 3. Подобные треугольники и гомотетия (198). § 4. Построение тре-

угольников по различным элементам (198). § 5. Построение треуголь-

ников по различным точкам (199). § 6. Треугольник (199). § 7. Четы-

рёхугольники (200). § 8. Окружности (201). § 9. Окружность Аполло-

ния (201). § 10. Разные задачи (202). § 11. Необычные построения (202).

§ 12. Построения одной линейкой (202). § 13. Построения с помощью

двусторонней линейки (203). § 14. Построения с помощью прямого уг-

ла (204). Задачи для самостоятельного решения (205).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

Глава 9. Геометрические неравенства 221

§ 1. Медиана треугольника (222). § 2. Алгебраические задачи на нера-

венство треугольника (222). § 3. Сумма длин диагоналей четырёхуголь-

ника (223). § 4. Разные задачи на неравенство треугольника (223).

§ 5. Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух

сторон (224). § 6. Неравенства для площадей (224). § 7. Площадь. Одна

фигура лежит внутри другой (226). § 8. Ломаные внутри квадрата (227).

§ 9. Четырёхугольник (227). § 10. Многоугольники (228). § 11. Разные

задачи (229). Задачи для самостоятельного решения (230).

Приложение. Некоторые неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Глава 10. Неравенства для элементов треугольника 253

§ 1. Медианы (253). § 2. Высоты (253). § 3. Биссектрисы (254). § 4. Дли-

ны сторон (254). § 5. Радиусы описанной, вписанной и вневписанных

окружностей (254). § 6. Симметричные неравенства для углов треуголь-

ника (255). § 7. Неравенства для углов треугольника (255). § 8. Нера-

венства для площади треугольника (256). § 9. Против большей стороны

лежит больший угол (256). § 10. Отрезок внутри треугольника мень-

ше наибольшей стороны (257). § 11. Неравенства для прямоугольных

треугольников (257). § 12. Неравенства для остроугольных треугольни-

ков (258). § 13. Неравенства в треугольниках (258). Задачи для самосто-

ятельного решения (259).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

Глава 11. Задачи на максимум и минимум 273

§ 1. Треугольник (273). § 2. Экстремальные точки треугольника (274).

§ 3. Угол (275). § 4. Четырёхугольники (276). § 5. Многоугольники (276).

§ 6. Разные задачи (277). § 7. Экстремальные свойства правильных мно-

гоугольников (277). Задачи для самостоятельного решения (278).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

Глава 12. Вычисления и метрические соотношения 289

§ 1. Теорема синусов (289). § 2. Теорема косинусов (290). § 3. Вписан-

ная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы (291). § 4. Дли-

ны сторон, высоты, биссектрисы (291). § 5. Синусы и косинусы уг-

лов треугольника (292). § 6. Тангенсы и котангенсы углов треугольни-

ка (292). § 7. Вычисление углов (293). § 8. Окружности (294). § 9. Раз-

ные задачи (295). § 10. Метод координат (295). Задачи для самостоя-

тельного решения (296).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

Глава 13. Векторы 308

§ 1. Векторы сторон многоугольников (309). § 2. Скалярное произве-

дение. Соотношения (310). § 3. Неравенства (310). § 4. Суммы векто-

ров (311). § 5. Вспомогательные проекции (312). § 6. Метод усредне-

ния (312). § 7. Псевдоскалярное произведение (313). Задачи для само-

стоятельного решения (314).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

Глава 14. Центр масс 325

§ 1. Основные свойства центра масс (325). § 2. Теорема о группировке

масс (326). § 3. Момент инерции (327). § 4. Разные задачи (328). § 5. Ба-

рицентрические координаты (328). § 6. Трилинейные координаты (331).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

Глава 15. Параллельный перенос 345

§ 1. Перенос помогает решить задачу (345). § 2. Построения и геометри-

ческие места точек (346). Задачи для самостоятельного решения (347).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

Глава 16. Центральная симметрия 353

§ 1. Симметрия помогает решить задачу (354). § 2. Свойства симмет-

рии (354). § 3. Симметрия в задачах на построение (355). Задачи для

самостоятельного решения (356).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

Глава 17. Осевая симметрия 361

§ 1. Симметрия помогает решить задачу (361). § 2. Построения (362).

§ 3. Неравенства и экстремумы (363). § 4. Композиции симметрий (363).

§ 5. Свойства симметрий и осей симметрии (364). § 6. Теорема Ша-

ля (364). Задачи для самостоятельного решения (365).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

Программы элективных курсов по геометрии   632

 

 

Примечание: Случайно прочитал на форуме Заочной физико-технической школы при МФТИ такое мнение:

"Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Книга великая во всех отношениях. Если вам встретилась задача по планиметрии, то идея решения tnm в Прасолове с вероятностью 99,99999999999%. Короче там есть ВСЕ!!! И эта книга великая именно потому, что она построена во-первых, на изумительной классификации задач, а во-вторых, она вся (за небольшими исключениями) состоит из задач на доказательство. Это огромный плюс, поскольку такие задачи на порядок сложнее, чем задачи на вычисление. Однако это и ее минус, поскольку при поступлении вам будут встречаться ТОЛЬКО задачи на вычисление и овладение методами решения ИМЕННО ТАКИХ задач - для вас задача (простите за каламбур) первой значимости. Так что заниматься по Прасолову - вы уже опоздали: по нему надо ставить мозги с самого начала с 7 класса. Правда если вы прорешаете все задачи, ну или хотя бы 75% задач из первых 13 глав (остальное -это олимпиада) и при этом вас не заберут в психушку, то вам прямая дорога на Мехмат, куда вы поступите совершенно не напрягаясь."

 

---

О том, как читать книги в форматах pdf, djvu - см. раздел "Программы; архиваторы; форматы pdf, djvu и др."

---

 

 

.