Оглавление
Предисловие к изданию на
русском языке
К русскому читателю
Предисловие
Как пользоваться книгой
Что такое математика?
Глава I. Натуральные
числа
Введение
§ 1. Операции над целыми
числами
1. Законы арифметики. 2. Представление целых чисел с
помощью письменных знаков (нумерация). 3. Арифметические
действия в недесятичных системах счисления.
§ 2. Бесконечность системы
натуральных чисел. Математическая ин- дукция
1. Принцип математической индукции. 2.
Арифметическая прогрессия. 3. Геометрическая прогрессия.
4. Сумма n первых квадратов. *5. Одно важное
неравенство. *6. Биномиальная теорема. 7. Дальнейшие
замечания по поводу метода математической индукции.
Дополнение к главе I.
Теория чисел
Введение
§ 1. Простые числа
1. Основные факты. 2. Распределение простых чисел.
а. Формулы, дающие простые числа. б. Простые числа в
арифметических прогрессиях. в. Теорема о распределении
простых чисел. г. Две еще не решенные задачи о простых
числах.
§ 2. Сравнения
1. Общие понятия. 2. Теорема Ферма. 3.
Квадратические вычеты.
§ 3. Пифагоровы числа и
большая теорема Ферма
§ 4. Алгоритм Евклида
1. Общая теория. 2. Применение к основной теореме
арифметики. 3. Функция Эйлера f(n). Еще раз о теореме
Ферма. 4. Непрерывные дроби. Диофантовы уравнения.
Глава II. Математическая
числовая система
Введение
§ 1. Рациональные числа
1. Рациональные числа как средство измерения. 2.
Возникновение надобности в рациональных числах внутри
самой математики. Принцип обобщения. 3. Геометрическое
представление рациональных чисел.
§ 2. Несоизмеримые
отрезки. Иррациональные числа, пределы
1. Введение. 2. Десятичные дроби: конечные и
бесконечные. 3. Пределы. Бесконечные геометрические
прогрессии. 4. Рациональные числа и периодические
десятичные дроби. 5. Общее определение иррациональных
чисел посредством стягивающихся отрезков. *6. Иные
методы определения иррациональных чисел. Дедекиндовы
сечения.
§ 3. Замечания из области
аналитической геометрии
1. Основной принцип. 2. Уравнения прямых и кривых
линий.
§ 4. Математический анализ
бесконечного
1. Основные понятия. 2. Счетность множества
рациональных чисел и несчетность континуума. 3.
«Кардинальные числа» Кантора. 4. Косвенный метод
доказательства. 5. Парадоксы бесконечного. 6. Основания
математики.
§ 5. Комплексные числа
1. Возникновение комплексных чисел. 2.
Геометрическое представление комплексных чисел. 3.
Формула Муавра и корни из единицы. *4. Основная теорема
алгебры.
§ 6. Алгебраические и
трансцендентные числа
1. Определение и вопросы существования. **2. Теорема
Лиувилля и конструирование трансцендентных чисел.
Дополнение к главе II.
Алгебра множеств
1. Общая теория. 2. Применение к математической
логике. 3. Одно из применений к теории вероятностей.
Глава III. Геометрические
построения. Алгебра числовых полей
Введение
Часть 1. Доказательства
невозможности и алгебра
§ 1. Основные
геометрические построения
1. Построение полей и извлечение квадратных корней.
2. Правильные многоугольники. 3. Проблема Аполлония.
§ 2. Числа, допускающие
построение, и числовые поля
1. Общая теория. 2. Все числа, допускающие
построение — алгебраические.
§ 3. Неразрешимость трех
классических проблем
1. Удвоение куба. 2. Одна теорема о кубических
уравнениях. 3. Трисекция угла. 4. Правильный
семиугольник. 5. Замечания по поводу квадратуры круга.
Часть 2. Различные методы
выполнения построений
§ 4. Геометрические
преобразования. Инверсия
1. Общие замечания. 2. Свойства инверсии. 3.
Геометрическое построение обратных точек. 4. Как
разделить отрезок пополам и как найти центр данной
окружности с помощью одного циркуля.
§ 5. Построения с помощью
других инструментов. Построения Маскерони с помощью
одного циркуля
*1. Классическая конструкция, служащая для удвоения
куба. 2. Построения с помощью одного циркуля. 3.
Черчение с помощью различных механических
приспособлений. Механические кривые. Циклоиды. *4.
Шарнирные механизмы. Инверсоры Поселье и Гарта.
§ 6. Еще об инверсии и ее
применениях
1. Инвариантность углов. Семейства окружностей. 2.
Применение к проблеме Аполлония. 3. Повторные отражения.
Глава IV. Проективная
геометрия. Аксиоматика. Неевклидовы геометрии
§ 1. Введение
1. Классификация геометрических свойств.
Инвариантность при преобразованиях. 2. Проективные
преобразования.
§ 2. Основные понятия
1. Группа проективных преобразований. 2. Теорема
Дезарга.
§ 3. Двойное отношение
1. Определение и доказательство инвариантности. 2.
Применение к полному четырехстороннику.
§ 4. Параллельность и
бесконечность
1. «Идеальные» бесконечно удаленные точки. 2.
Идеальные элементы и проектирование. 3. Двойное
отношение с бесконечно удаленными элементами.
§ 5. Применения
1. Предварительные замечания. 2. Двумерное
доказательство теоремы Дезарга. 3. Теорема Паскаля. 4.
Теорема Брианшона. 5. Замечание по поводу
двойственности.
§ 6. Аналитическое
представление
1. Вводные замечания. *2. Однородные координаты.
Алгебраические основы двойственности.
§ 7. Задачи на построение
с помощью одной линейки
§ 8. Конические сечения и
квадрики
1. Элементарная метрическая геометрия конических
сечений. 2. Проективные свойства конических сечений. 3.
Конические сечения как «линейчатые кривые». 4. Теоремы
Паскаля и Брианшона для общего случая произвольных
конических сечений. 5. Гиперболоид.
§ 9. Аксиоматика и
нееклидова геометрия
1. Аксиоматический метод. 2. Гиперболическая
неевклидова геометрия. 3. Геометрия и реальность. 4.
Модель Пуанкаре. 5. Эллиптическая, или риманова,
геометрия.
Приложение. Геометрия в
пространствах более чем трех измерений
1. Введение. 2. Аналитический подход. *3.
Геометрический, или комбинаторный, подход.
Глава V. Топология
Введение
§ 1. Формула Эйлера для
многогранников
§ 2. Топологические
свойства фигур
1. Топологические свойства. 2. Свойства связности.
§ 3. Другие примеры
топологических теорем
1. Теорема Жордана о замкнутой кривой. 2. Проблема
четырех красок. *3. Понятие размерности. 4. Теорема о
неподвижной точке. 5. Узлы.
§ 4. Топологическая
классификация поверхностей
1. Род поверхности. *2. Эйлерова характеристика
поверхности. 3. Односторонние поверхности.
Приложение.
*1. Проблема пяти красок. 2. Теорема Жордана для
случая многоугольников. *3. Основная теорема алгебры.
Глава VI. Функции и
пределы
Введение
§ 1. Независимое
переменное и функция
1. Определения и примеры. 2. Радианная мера углов.
3. График функции. Обратные функции. 4. Сложные функции.
5. Непрерывность. *6. Функции нескольких переменных. *7.
Функции и преобразования.
§ 2. Пределы
1. Предел последовательности an . 2.
Монотонные последовательности. 3. Число Эйлера e. 4.
Число p.
*5. Непрерывные дроби.
§ 3. Пределы при
непрерывном приближении
1. Введение. Общие определения. 2. Замечания по
поводу понятия предела. 3. Предел
sinx/x. 4. Пределы при x -.
§ 4. Точное определение
непрерывности
§ 5. Две основные теоремы
о непрерывных функциях
1. Теорема Больцано. *2. Доказательство теоремы
Больцано. 3. Теорема Вейерштрасса об экстремальных
значениях. *4. Теорема о последовательностях. Компактные
множества.
§ 6. Некоторые применения
теоремы Больцано
1. Геометрические применения. *2. Применение к одной
механической проблеме.
Дополнение к главе VI. Дальнейшие примеры на пределы
и непрерывность
§ 1. Примеры пределов
1. Общие замечания. 2. Предел qn. 3.
Предел . 4. Разрывные функции как предел непрерывных.
*5. Пределы при итерации.
§ 2. Пример, относящийся к
непрерывности
Глава VII. Максимумы и
минимумы
Введение
§ 1. Задачи из области
элементарной геометрии
1. Треугольник наибольшей площади при двух заданных
сторонах. 2. Теорема Герона. Экстремальное свойство
световых лучей. 3. Применения к задачам о треугольниках.
4. Свойства касательных к эллипсу и гиперболе.
Соответствующие экстремальные свойства. *5.
Экстремальные расстояния точки от данной кривой.
§ 2. Общий принцип,
которому подчинены экстремальные задачи
1. Принцип. 2. Примеры.
§ 3. Стационарные точки и
дифференциальное исчисление
1. Экстремальные и стационарные точки. 2. Максимумы
и минимумы функций нескольких переменных. Седловые
точки. 3. Точки минимакса и топология. 4. Расстояние
точки от поверхности.
§ 4. Треугольник Шварца
1. Доказательство, предложенное Шварцем. 2. Другое
доказательство. 3. Тупоугольные треугольники. 4.
Треугольники, образованные световыми лучами. *5.
Замечания, касающиеся задач на отражение и эргодическое
движение.
§ 5. Проблема Штейнера
1. Проблема и ее решение. 2. Анализ возникающих
возможностей. 3. Дополнительная проблема. 4. Замечания и
упражнения. 5. Обобщение: проблема уличной сети.
§ 6. Экстремумы и
неравенства
1. Среднее арифметическое и среднее геометрическое
двух положительных величин. 2. Обобщение на случай n
переменных. 3. Метод наименьших квадратов.
§ 7. Существование
экстремума. Принцип Дирихле
1. Общие замечания. 2. Примеры. 3. Экстремальные
проблемы элементарного содержания. 4. Трудности,
возникающие в более сложных случаях.
§ 8. Изопериметрическая
проблема
*§ 9. Экстремальные
проблемы с граничными условиями. Связь между проблемой
Штейнера и изопериметрической проблемой
§ 10. Вариационное
исчисление
1. Введение. 2. Вариационное исчисление. Принцип
Ферма в оптике. 3. Решение задачи о брахистохроне,
принадлежащее Якобу Бернулли. 4. Геодезические линии на
сфере. Минимаксы.
§ 11. Экспериментальные
решения задач на минимум. Опыты с мыльными пленками
1. Введение. 2. Опыты с мыльными пленками. 3. Новые
опыты, относящиеся к проблеме Плато. 4.
Экспериментальные решения других математических проблем.
Глава VIII.
Математический анализ
Введение
§ 1. Интеграл
1. Площадь как предел. 2. Интеграл. 3. Общие
замечания о понятии интеграла. Общее определение. 4.
Примеры интегрирования. Интегрирование функции xr.
5. Правила «интегрального исчисления».
§ 2. Производная
1. Производная как наклон. 2. Производная как
предел. 3. Примеры. 4. Производные от тригонометрических
функций. *5. Дифференцируемость и непрерывность. 6.
Производная и скорость. Вторая производная и ускорение.
7. Геометрический смысл второй производной. 8. Максимумы
и минимумы.
§ 3. Техника
дифференцирования
§ 4. Обозначения Лейбница
и «бесконечно малые»
§ 5. Основная теорема
анализа
1. Основная теорема. 2. Первые применения.
Интегрирование функций xr, cos x, sin x.
Функция arctg x. 3. Формула Лейбница для .
§ 6. Показательная
(экспоненциальная) функция и логарифм
1. Определение и свойства логарифма. Эйлерово число
e. 2. Показательная (экспоненциальная) функция. 3.
Формулы дифференцирования функций ex, ax,
xs. 4. Явные выражения числа e и функций ex
и ln x в виде пределов. 5. Бесконечный ряд для
логарифма. Вычисление логарифмов.
§ 7. Дифференциальные
уравнения
1. Определения. 2. Дифференциальное уравнение
экспоненциальной функции. Радиоактивный распад. Закон
роста. Сложные проценты. 3. Другие примеры. Простые
колебания. 4. Закон движения Ньютона.
Дополнение к главе VIII.
§ 1. Вопросы
принципиального порядка
1. Дифференцируемость. 2. Интеграл. 3. Другие
приложения понятия интеграла. Работа. Длина кривой.
§ 2. Порядки возрастания
1. Показательная функция и степени переменного x. 2.
Порядок возрастания функции ln(n!).
§ 3. Бесконечные ряды и
бесконечные произведения
1. Бесконечные ряды функций. 2. Формула Эйлера cos x
+ i sin x = eix. 3. Гармонический ряд и
дзета-функция. Формула Эйлера, выражающая sin x в виде
бесконечного произведения.
*§4. Доказательство
теоремы о простых числах на основе статистического
метода
Приложение. Дополнительные
замечания. Задачи и упражнения
Арифметика и алгебра
Аналитическая геометрия
Геометрические построения
Проективная и неевклидова
геометрия
Топология
Функции, пределы,
непрерывность
Максимумы и минимумы
Дифференциальное и
интегральное исчисления
Техника интегрирования
Добавление 1. Вклейка «От
издательства» в первое издание книги на русском языке
Добавление 2. О создании
книги «Что такое математика?»
Рекомендуемая литература
Предметный указатель
