Правообладателям
Элементарная математика. Сканави М.И.
2-е изд., перераб. и доп., М.: 1974г. - 592с.
Книга представляет собой повторительный курс элементарной математики и рассчитана на тех, кто хочет пополнить, укрепить и систематизировать свои знания. Как и в первом издании, содержание ориентировано на программы вступительных экзаменов в технические вузы и, в особенности, на программы подготовительных отделений при высших учебных заведениях, для учащихся которых, как мы надеемся, книга окажется полезной.
( Книга включает в себя Ч1 - Арифметика, алгебра и элементарные функции и Ч2 - Геометрия. Каждый раздел включает в себя теоретическую часть и большое количество задач с решениями.)
Первое издание книги вышло в 1967году, в начале работы над вторым изданием ушел из жизни сам Марк Иванович Сканави (1972г.) и работа была продолжена его соавторами. В списке авторов данного издания: Зайцев В.В., Рыжков В.В., Сканави М.И.
Формат: djvu / zip
Размер: 5,65 Мб
Скачать / Download файл
Математика в решениях задач из сборника М.И. Сканави. Черняк А.А., Черняк Ж.А. (2001, 400с.)
Сборник задач по математике для поступающих во втузы. Под ред. Сканави М.И. (2013, 608с.)
Сборник задач по математике с решениями. 8-11 классы. Под ред. Сканави М.И. (2012, 624с.)
Элементарная математика. Сканави М.И. (1974, 592с.)
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию......................................................................... 9
О пользовании книгой ........................................................................................ 11
Введение................................................................................................................... 13
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
Глава I. Действительные и комплексные числа .................................. 18
§ 1. Действительные числа. Координаты . . . . ,........................... , . , . . 18
1. Натуральные числа (18).
2. Простые и составные числа. Признаки дели
мости (20). 3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
(22). 4. Целые числа. Рациональные числа (24). 5. Десятичные дроби.
Представление рациональных чисел десятичными дробями (28). 6.
Иррацио
нальные числа. Действительные числа (31). 7. Действия с
приближенными
числами (35). 8. Числовая ось.
Координаты точки на плоскости (40).
Упражнения....................................................................................................
45
§ 2. Степени и корни ,........................................................... ,................................ 46
9. Степени с натуральными показателями (46). 10. Степени с
целыми пока
зателями (47). 11. Корни (48). 12. Степени с
рациональными показате
лями. Степени о действительными показателями (51). 13.
Алгоритм извлече
ния квадратного кория (52).
Упражнения.....................................................................................................
56
§ 3. Комплексные числа .................................................................................... 57
14. Основные понятия и
определения (57). 15. Рациональные действия с
комплексными числами (59). 16. Геометрическое изображение
комплексных
чисел. Тригонометрическая форма
комплексного числа (62). 17. Действия с
комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.
Формула
Муавра (65). 18. Извлечение корня из комплексного числа (66).
Упражнения.....................................................................................................
69
Глава II. Тождественные преобразования................................................ 70
§ 1. Рациональные алгебраические выражения................................................... 70
19. Алгебраические выражения. Одночлены и многочлены
(70). 20. Форму
лы сокращенного умножения
(74). 21. Бииом Ньютона (75). 22. Разло
жение многочлена иа множители (7 8). 23. Дробные алгебраические
выраже
ния (79).
Упражнения....................................................................................................
80
§ 2. Иррациональные алгебраические выражения........................ ...................... 80
24. Радикалы нз алгебраических выражений (80). 25. Освобождение от ир«
рациональности в знаменателе дроби (84).
Упражнения................................................................................................. , 85
Глава III. Логарифмы......................................................................................... 87
§ 1. Логарифмы по произвольному основанию.................................................. 87
26. Определение и свойства логарифмов (87). 27. Логарифмы по различным
основаниям. Модуль перехода (92).
Упражнения................................................................... ,............................... 94
§ 2. Десятичные логарифмы................................................................................... 94
28. Характеристика и мантисса десятичного логарифма (94). 29. Применение десятичных логарифмов к вычислениям (9 8).
Упражнения..................................................................................................... 100
Глава IV. Функции и графики........................................................................ 101
§ 1. Общие сведения о функциях........................................................................... 101
30. Величина. Числовые множества (101). 31. Определение функции (102). 32. График функции.
Способы задания функций (104). 33. Элементарное исследование поведения функции (106). 34.
Сложная функция (109). 35. Обратная функция (109). 36. Функции нескольких переменных (112).
Упражнения.................................................................................................... 113
§ 2. Элементарные функции.................................................................................. 113
37. Обзор элементарных функций (113). 38. Линейная функция (115). 39. Квадратичная функция у=ахг(118).
4 0. Степенная функция у—хп(120). 41. Обратная пропорциональная зависимость. Степенная функция
с рациональным показателем степени (121). 42. Показательная функция (125). 43. Логарифмическая функция (127).
Упражнения.................................................................................................... 127
§ 3. Преобразование графиков............................................................................. 128
44. Параллельный сдвиг графика (128). 45. График квадратного трехчлена (130). 46. График дробио-лииейной
функции (133). 47. Преобразование симметрии. Сжатие н растяжение графика (134). 48. Построение графиков функций
у=\ / (х) |. у-1 (| х |), у=\ / (| х\) | (136). 49. Сложение графиков (140).
Упражнения.................................................................................................... 142
§ 4. Некоторые сведения о рациональных функциях.......................................... 142
50. Целые и дробные рациональные функции. Деление многочленов (142).
51. Схема Горнера. Теорема Безу (145). 52. Нули многочлена. Разложение многочлена на множители (147).
Упражнения..................................................................................................... 150
Глава V. Уравнения ........................................................................................ 151
§ 1. Общие сведения об уравнениях..................................................................... 151
53. Уравнение. Корни уравнения (151). 54. Равносильные уравнения (152). 55. Системы уравнений (155).
56. Графическое решение уравнений (157).
Упражнения..................................................................................................... 158
§ 2. Алгебраические уравнения с одной неизвестной ........................................ 158
57. Число и кратность корней (158). 58. Уравнения первой степени (линейные уравнения) (159).
59. Уравнения второй степени (квадратные уравнения (160). 60. Формулы Виета. Разложение квадратного
трехчлена на множители (164). 61. Исследование квадратного уравнения (165). 62. Уравнения высших степеней.
Целые корни (167). 63. Двучленные уравнения (169). 64. Уравнения, сводящиеся к квадратным (170). 65. Возвратные уравнения (172).
Упражнения..................................................................................................... 172
§ 3. Системы алгебраических уравнений............................................................. 173
66. Линейные системы (173). 67. Определители второго порядка. Исследование линейных систем двух
уравнений с двумя неизвестными (176). 68. Системы, состоящие из уравнения второй степени и линейного уравнения (183).
69. Примеры систем
двух уравнений второй степени. Системы уравнений
высших степеней (186).
Упражнения..................................................................................................... 190
§ 4. Иррациональные, показательные и логарифмические уравнения ... 191
70. Иррациональные
уравнения (191).
71. Показательные
уравнения (195).
72. Логарифмические уравнения
(197). 73. Разные уравнения. Системы урав
нений (199),
Упражнения . . , . ,..................................................................................... 201
Глава VI. Неравенства..................................................................................... 203
§ 1. Числовые и алгебраические неравенства....................................................... 203
74. Свойства неравенств. Действия над неравенствами (203). 75.
Алгебраиче
ские неравенства (208).
Упражнения.....................................................................................................
210
§ 2. Решение неравенств......................................................................................... 211
76. Множество решений неравенства. Равносильные неравенства (211).
77. Графическое решение
неравенств (212). 78.
Линейные неравенства. Си
стемы линейных неравенств (213).
79. Квадратные неравенства (217).
80. Неравенства высших степеней. Неравенства, содержащие дробные
рацио-
нальиые функции от х (219). 81. Иррациональные,
показательные и логариф
мические неравенства (222).
82. Неравенства с двумя неизвестными
(225).
Упражнения.....................................................................................................
227
Глава VII. Последовательности...................................................................... 228
§ 1. Предел последовательности ......................................................................... 228
83. Числовая
последовательность (228). 84. Предел числовой последователь
ности (230). 85.
Бесконечно малые. Правила предельного перехода (235).
§ 2.
Арифметическая
прогрессия..........................................................................
238
86. Арифметическая прогрессия. Формула общего члена (238). 87. Свойства арифметической прогрессии (239).
88. Формула для вуммы п членов арифметической прогрессии (240).
Упражнения..................................................................................................... 241
§ 3. Геометрическая прогрессия........................................................................... 242
89. Геометрическая прогрессия. Формула общего члена
(242). 90. Свойства
геометрической прогрессии
(244). 91.
Формулы для суммы п членов геомет
рической прогрессии (245).
92. Бесконечно убывающая геометрическая про
грессия (246).
Упражнения.....................................................................................................
248
Глава VIII. Тригонометрические функции угла (дуги)........................... 249
§ 1. Векторы. Обобщение понятий угла и дуги................................................... 249
93. Вектор, проекция вектора
(249). 94. Положительные углы и дуги, мень
шие 360° (251). 95. Углы и дуги, большие-360° (251).
96 Отрицательные
углы. Сложение и вычитание углов
(252).
Упражнения.....................................................................................................
254
§ 2. Тригонометрические функции произвольного угла................................... 254
97. Определение основных
тригонометрических функций (254).
98. Изменение
основных тригонометрических функций при изменении угла от 0 до 2л
(259).
Упражнения....................................................................................................
264
§ 3. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того
же угла............................................................................................................. 264
99. Основные тригонометрические тождества
(264). 100. Вычисление
значений
тригонометрических функций по значению одной из них (266). 101.
Значения
тригонометрических функций некоторых углов
(267).
Упражнения.....................................................................................................
269
§ 4. Четность, нечетность и периодичность тригонометрических функций 270
102. Четность и нечетность (270). !03. Понятие периодической функции (271). 104. Периодичность
тригонометрических функций (273).
Упражнения..................................................................................................... 276
§ 5. Формулы приведения...................................................................................... 276
105. Зависимость между тригонометрическими функциями дополнительных
углов (276). 106. Формулы приведения (278).
Упражнения..................................................................................................... 283
Глава
IX. Тригонометрические функции числового аргумента и их гра
фики
..............................................................................................................
284
§ 1. Тригонометрические функции числового аргумента.................................. 284
107. Определение
(284). 108. Области определения и области
изменения
значений тригонометрических функций
(285). 109. Некоторые
неравенства и
их следствия (285).
Упражнения.....................................................................................................
287
§ 2. Графики тригонометрических функций........................................................ 287
ПО. Первоначальные сведения о таблицах тригонометрических
функций (287).
111. Основные графики (288).
112. Примеры построения графиков некоторых
других тригонометрических функций (293). 113. Дальнейшие
примеры по
строения графиков функций (29 5).
Упражнения.....................................................................................................
298
Глава X. Преобразование тригонометрических выражений ............ 299
§ 1. Формулы сложения и вычитания ................................................................ 299
114. Расстояние между двумя точками на плоскости (299). 115.
Косинус суммы
и разности двух аргументов (300).
116. Сннус суммы и разности
двух аргу
ментов (301). 117. Тангенс суммы и разности двух
аргументов (302).
118. О формулах сложения для нескольких аргументов (303).
Упражнения....................................................................................................
303
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
Глава XIII. Основные понятия...................................................................... 379
§ 1. Точка, прямая, плоскость. Фигуры и тела.................................................... 379
156. Точка. Прямая. Луч. Отрезок (379). 157. Плоскость. Фигуры и тела (380). 158.
Угол (381). 159. Ломаная линия. Многоугольник (382). 160. Равенство фигур. Движение (384).
161. Равенство тел (386).
§ 2. Измерение геометрических величин.............................................................. 386
162. Сложение отрезков. Длина отрезка (386). 163,. Общая мера
двух отрез- .
ков (389), 164. Сравнительная длина отрезков и ломаных
(390). 165. Изме
рение углов (391). 166. Радиаииая мера угла (393). 167.
Измерение площа
дей (395). 168. Площадь прямоугольника. Объем прямоугольного
параллеле
пипеда (397).
Упражнения.....................................................................................................
399
Глава
XIV. Перпендикулярные и параллельные прямые. Задачи на по
строение
.......................................................................................................
400
§ 1. Перпендикулярные и параллельные прямые............................................... 400
169. Перпендикуляр и наклонные (400). 170. Свойство перпендикуляра, проведенного
к отрезку в его середине (402). 171. Параллельные прямые (402).
172. Углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей (404).
173. Углы с параллельными или перпендикулярными сторонами (405).
§ 2. Геометрические места точек. Окружность.................................................... 407
174.
Геометрическое место точек (407).
175. Свойство биссектрисы угла
(407). 176. Окружность
(408). 177. Взаимное
расположение прямой и ок
ружности. Касательная и секущая
(409). 178. Хорда н диаметр. Сектор и
сегмент; (411). 179. Взаимное расположение двух окружностей (412).
§ 3. Основные задачи на построение..................................................................... 414
180. Линейка и циркуль (414). 181. Деление отрезка
пополам. Построение
перпендикуляров (415). 182. Построение углов (416). 183. Другие задачи
на построение (418).
Упражнения.....................................................................................................
419
Глава XV. Треугольники, четырехугольники............................................ 420
§ 1. Треугольники.................................................................................................. 420
184. Стороны и углы
треугольника (421). 185.
Биссектрисы треугольника.
Вписанная окружность
(422).
186. Оси симметрии сторон треугольника. Опи
санная окружность (423).
187. Медианы н высоты треугольника
(425).
188. Равенство треугольников
(425). 189. Построение
треугольников (427).
190. Равнобедренные треугольники (430)." 191. Прямоугольные
треугольники
(430).
Упражнения.....................................................................................................
432
§ 2. Параллелограммы ....................................................................................... 432
192. Четырехугольники (432). 193. Параллелограмм и его свойства (433).
194. Прямоугольник (434). 195. Ромб. Квадрат (435).
Упражнения...................................................................................................... 436
§ 3. Трапеция ...................................................................................................... 436
196. Трапеция (436).
197. Средняя линия треугольника (439). 198. Сред
няя линия трапеции (440).
199. Деление отрезка на равные части (441).
Упражнения.....................................................................................................
442
§ 4. Площади треугольников и четырехугольников........................................... 442
200. Площадь параллелограмма (442). 201. Площадь треугольника (443).
202. Площадь трапеции (445).
Глава XVI. Подобие геометрических фигур............................................... 446
§ 1. Пропорциональные отрезки........................................................................... 446
203.
Пропорциональные отрезки (446).
204. Свойства биссектрис
внутреннего
и внешнего углов треугольника (4 49).
Упражнения.................................................................................................... 451
§ 2. Подобное преобразование фигур (гомотетия)............................................ 451
205. Определение гомотетичных фигур (451). 206. Свойства преобразования подобия (453).
§ 3. Общее подобное соответствие фигур............................................................ 456
207. Подобные фигуры (456).
208. Периметры и площади подобных треуголь
ников (459). 209.
Применение подобия к решению задач на построение
(460).
Упражнения.....................................................................................................
461
Глава XVII. Метрические соотношения в треугольнике и круге .... 462
§ 1. Углы и пропорциональные отрезки в круге................................................ 462
210. Углы с вершиной на окружности
(462). 211. Углы с
вершиной внутри
и вне круга (463). 212. Угол, под которым виден
данный отрезок (464).
213. Четырехугольники, вписанные в окружность (466). 21 4.
Пропорциональ
ные отрезки в круге (467).
215. Задачи на построение (468).
Упражнения....................................................................................................
470
§ 2. Метрические соотношения в треугольнике.................................................. 470
216. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Теорема
Пи
фагора (470). 217.
Квадрат стороны, лежащей против острого или тупого
угла в треугольнике. Теорема косинусов (47 3). 218. Теорема
синусов. Фор
мула Герона (476). 219.
Радиусы вписанной и описанной окружностей
(478).
Упражнения.....................................................................................................
480
§ 3. Решение треугольников.................................................................................. 481
220. Таблицы функций (481). 221. Решение треугольников. Сводка основных - формул (487).
222. Решение прямоугольных треугольников (489). 223. Решение косоугольных треугольников (490).
Упражнения.................................................................................................... 498
Глава
XVIII. Правильные многоугольники. Длина окружности и пло
щадь
круга
.....................................................................................................
499
§ 1. Правильные многоугольники........................................................................ 499
224. Выпуклые многоугольники (499). 225. Правильные многоугольники (501). 226. Соотношения
между стороной, радиусом и апофемой (502). 227. Периметр и площадь правильного л-угольника (503).
228. Удвоение числа сторон правильного многоугольника (504).
Упражнения.................................................................................................... 507
§ 2. Длина окружности. Площадь круга и его частей ..................................... 507
229 Длина окружности (507). 230. Площадь круга и его частей (510)
Упражнения...................... ,............................................................................. 513
Глава XIX. Прямые и плоскости в пространстве....................................... 514
§ 1. Взаимное расположение прямых и плоскостей............................................. 514
231. Взаимное расположение двух прямых в пространстве (514). 232. Взаимное расположение прямой
линии и плоскости (515). 233. Взаимное расположение двух плоскостей (518). 234. Свойства
параллельных прямых и плоскостей (518). 235. Построения в стереометрии (520).
§ 2. Перпендикулярность прямых и плоскостей................................................... 521
236. Перпендикуляр к плоскости (521). 237. Перпендикуляр и наклонные (523). 238. Угол между
прямой и плоскостью (524). 239. Связь между перпендикулярностью и параллельностью прямых
и плоскостей (525). 240. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых (526).
Упражнения.................................................................................................... 528
§ 3. Двугранные и многогранные углы.................................................................. 528
241. Двугранный угол (528). 242. Взаимно перпендикулярные плоскости (529). 243. Трехгранные
углы (530). 244. Многогранные углы (534).
§ 4. Многогранники............................................................................................... . 535
245. Многогранники (535). 246. Правильные многогранники (536).
Упражнения..................................................................................................... 538
Глава XX. Многогранники и круглые тела................................................ 539
§ 1. Призма. Параллелепипед. Цилиндр.............................................................. 539
247. Цилиндры и призмы (539). 248. Параллелепипеды (542). 249. Объемы призм и цилиндров (543).
250. Площадь боковой поверхности призмы (544).
251. Площадь поверхности цилиндра (545).
Упражнения.................................................................................................... 547
§ 2. Пирамида. Конус.............................................................................................. 547
252. Свойства пирамиды
и конуса (547). 253. Объем
пирамиды и конуса
(551). 254. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды н конуса
(554). 255. Усеченный конус
и усеченная пирамида (556).
Упражнения . . ........................................................................................... 559
§ 3. Шаровая поверхность] Шар........................................................................... 559
256. Шар и шаровая поверхность (559). 257. Объем шара и его частей (562).
258. Площадь поверхности шара и ее частей (566). 259. Понятие телесного
угла (568).
Упражнения.................................................................................................... 569
Ответы к упражнениям........................................................................................... . 570
Приложения ........................................................................................................ . 581
Предметный указатель............................................................................................ . 583
О том, как читать книги в форматах pdf, djvu - см. раздел "Программы; архиваторы; форматы pdf, djvu и др."
.
|
|
||
|
||