Курс математического анализа.   Никольский С.М.

                                                 ОГЛАВЛЕНИЕ

   Предисловие........................................................................................................     9

   Глава   1.   Введение..................................................................................... .....    11

§ 1.1.   Вступление....................................................................................... ...... 11

§ 1.2.   Множество. Интервал, отрезок......................................................        11

§ 1.3.   Функция............................................................................................ ...... 14

§ 1.4.   Понятие непрерывности функции.................................................. ...... 24

§ 1.5.   Производная.....................................................................................        27

§ 1.6.   Первообразная. Неопределенный интеграл..................................        33

§ 1.7.   Понятие определенного интеграла.   Площадь криволинейной

фигуры.............................................................................................. ..... 36

   Глава   2.   Действительное число............................................................. ...... 41

§ 2.1.   Рациональные и иррациональные числа........................................ ...... 41

§ 2.2.   Определение неравенства................................................................        46

§ 2.3.   Основная лемма. Определение арифметических действий............ ...... 46

§ 2.4.   Основные свойства действительных чисел....................................        49

§2.5.   Изоморфизм различных представлений действительных чисел.

Физические величины ..................................................................... ...... 52

§ 2.6.   Неравенства для абсолютных величин........................................... ...... 54

§ 2.7.   Точные верхняя и нижняя грани множества................................. ...... 55

§ 2.8.   Символика математической логики................................................ ...... 56

   Глава  3.   Предел последовательности.................................................... ...... 58

§ 3.1.   Понятие предела последовательности ..........................................        58

§ 3.2.   Арифметические действия с пределами.........................................        62

§ 3.3.   Бесконечно малая и бесконечно большая величины.....................        64

§3.4.   Существование предела у монотонной ограниченной последо­
вательности ...................................................................................... ...... 66

§ 3.5.   Число е.............................................................................................. ...... 68

§3.6.   Леммы о вложенных отрезках, существовании точных граней

множества и сечения во множестве действительных чисел ....              69

§3.7.   Теорема Больцано-Вейерштрасса. Верхний и нижний пределы           71

§ 3.8.   Критерий Коши существования предела.......................................        76

§ 3.9.   Счетное множество.   Счетность множества рациональных чи­
сел. Несчетность множества действительных чисел...................... ...... 77

   Глава  4.   Предел функции......................................................................... ...... 80

§4.1.   Понятие предела функции ..............................................................        80

§ 4.2.   Непрерывность функции в точке .................................................        88

§ 4.3.   Пределы функции справа и слева. Монотонная функция........... ...... 94

§ 4.4.       Функции, непрерывные на отрезке................................................       98

§ 4.5.       Обратная функция..........................................................................      101

§ 4.6.       Показательная и логарифмическая функции................................      104

§ 4.7.       Степенная функция х    ...................................................................      109

§ 4.8.       Еще о числе е....................................................................................      ПО

§ 4.9.        lim ^..................................................................................................      111

§ 4.10.     Порядок переменной, эквивалентность (асимптотика).................      112

   Глава   5.               Дифференциальное исчисление для функций одной

переменной....................................................................................................      117

§ 5.1.       Производная....................................................................................      117

§ 5.2.      Дифференциал функции.................................................................. .... 121

§ 5.3.       Производная функции от функции............................................... .... 124

§ 5.4.       Производная обратной функции....................................................      125

§ 5.5.            Таблица производных простейших элементарных функций ....    128

§ 5.6.       Производные и дифференциалы высшего порядка..................... .... 129

§ 5.7...... Возрастание и убывание функции на интервале и в точке. Ло­
кальный экстремум ......................................................................... 133

§ 5.8.      Теоремы о среднем значении. Критерии возрастания и убыва­
ния функции на интервале. Достаточные критерии локальных

экстремумов..................................................................................... .... 135

§ 5.9.       Формула Тейлора............................................................................ .... 139

§ 5.10.           Формула Тейлора для важнейших элементарных функций ....    146

§ 5.11.    Ряд Тейлора......................................................................................      151

§ 5.12.     Выпуклость кривой в точке. Точка перегиба............................... .... 155

§ 5.13.     Выпуклость кривой на отрезке......................................................      157

§ 5.14.     Раскрытие неопределенностей....................................................... .... 159

§ 5.15.    Асимптота..........................................................................................      163

§ 5.16.     Схема построения графика функции..............................................      166

§ 5.17.     Кусочно непрерывные и кусочно гладкие функции ...................      170

   Глава  6.   n-мерное пространство. Геометрия кривой..............................      172

§ 6.1.       гг-мерное пространство. Линейное множество............................. .... 172

§ 6.2...... Евклидово гг-мерное пространство.   Пространство со скаляр­
ным произведением.......................................................................... 173

§ 6.3.       Линейное нормированное пространство ...................................... .... 176

§ 6.4.       Вектор-функция в гг-мерном евклидовом пространстве ........... .... 177

§ 6.5.       Непрерывная кривая. Гладкая кривая.......................................... .... 179

§ 6.6.       Геометрический смысл производной вектор-функции................      183

§ 6.7.      Длина дуги кривой...........................................................................      184

§ 6.8.       Касательная...................................................................................... .... 187

§ 6.9.       Основной триэдр кривой ..............................................................      188

§ 6.10.     Соприкасающаяся плоскость ........................................................ .... 191

§ 6.11.     Кривизна и радиус кривизны кривой...........................................      192

§ 6.12.   Эволюта.............................................................................................. ... 194

§ 6.13.   Формулы Френе. Свойства эволюты...............................................     196

   Глава   7.   Дифференциальное исчисление функций многих пе­
ременных .......................................................................................................     200

§ 7.1.     Открытое множество........................................................................ .... 200

§ 7.2.     Предел функции................................................................................ ... 202

§ 7.3.     Непрерывная функция..................................................................... .... 206

§ 7.4.     Частные производные и производная по направлению ................      210

§ 7.5.     Дифференцируемая функция. Касательная плоскость ................ .... 211

§ 7.6.     Производная сложной функции. Производная по направлению.

Градиент............................................................................................      215

§ 7.7.     Независимость от порядка дифференцирования...........................      220

§ 7.8.     Дифференциал функции. Дифференциал высшего порядка ....          222

§ 7.9.     Теорема Больцано-Вейерштрасса ..................................................      226

§ 7.10.   Замкнутые и открытые множества..................................................     227

§ 7.11.   Функции на множестве.      Свойства непрерывных  функций

на замкнутом ограниченном множестве......................................... .... 229

§ 7.12.   Лемма о вложенных прямоугольниках и лемма Бореля................ .... 233

§7.13.    Формула Тейлора.............................................................................      234

§ 7.14.   Локальный (абсолютный) экстремум функции.............................. ... 237

§ 7.15.   Теоремы существования неявной функции................................... .... 241

§ 7.16.   Теорема существования решения системы уравнений.................. ... 247

§ 7.17.   Отображения..................................................................................... .... 251

§7.18.    Гладкая поверхность ........................................................................      255

§ 7.19.   Дифференциалы неявных функций. Линеаризация ......................     257

§ 7.20.   Локальный относительный экстремум............................................     259

§ 7.21.   Замена переменных в частных производных................................... ... 267

§ 7.22.   Система зависимых функций............................................................     270

   Глава  8.  Неопределенные интегралы. Алгебра многочленов                     272

§ 8.1.     Введение.   Методы замены переменной и интегрирования по

частям................................................................................................ ... 272

§ 8.2.     Комплексные числа........................................................................... .... 278

§ 8.3.     Комплексные функции......................................................................     283

§ 8.4.     Многочлены...................................................................................... .... 285

§ 8.5.     Разложение рациональной функции на простейшие дроби ....            288

§ 8.6.     Интегрирование рациональных дробей.......................................... .... 293

§ 8.7.     Интегрирование алгебраических иррациональностей................... .... 294

§ 8.8.     Подстановки Эйлера......................................................................... .... 295

§ 8.9.     Биномиальные дифференциалы. Теорема Чебышева....................     297

§ 8.10.   Интегрирование тригонометрических выражений.........................     298

§ 8.11.   Тригонометрические подстановки................................................... ... 301

§ 8.12.   Несколько важных интералов, не выражаемых в элементарных

функциях...........................................................................................      302

   Глава  9.   Определенный интеграл Римана..................................................    303

§ 9.1.       Вступление.......................................................................................    303

§ 9.2.       Ограниченность интегрируемой функции.................................... .. 304

§ 9.3.      Суммы Дарбу.................................................................................... . 305

§ 9.4.       Основная теорема............................................................................ .. 306

§ 9.5.       Теоремы о существовании интеграла от непрерывной и моно­
тонной функции на [а, Ь]  ...............................................................    309

§ 9.6.      Аддитивные и однородные свойства интеграла............................. .. 310

§ 9.7.       Неравенства и теорема о среднем................................................... . 312

§ 9.8.       Интеграл как функция верхнего предела.   Теорема Ньютона-
Лейбница ..........................................................................................   314

§ 9.9.      Вторая теорема о среднем...............................................................    318

§ 9.10.     Видоизменение функции................................................................. .. 318

§ 9.11.     Несобственные интегралы..............................................................    319

§ 9.12.     Несобственные интегралы от неотрицательных функций............   323

§ 9.13.     Интегрирование по частям ............................................................    325

§ 9.14.     Несобственный интеграл и ряд.......................................................   327

§9.15.     Несобственные интегралы с особенностями в нескольких точках   330

§ 9.16.     Формула Тейлора с отстатком в интегральной форме................ .. 331

§ 9.17.     Формулы Валлиса и Стирлинга.....................................................    332

   Глава   10.   Некоторые приложения интегралов.  Приближен­
ные методы.....................................................................................................   333

§ 10.1.     Площадь в полярных координатах.................................................   333

§ 10.2.     Объем тела вращения...................................................................... .. 334

§ 10.3.    Длина дуги гладкой кривой.............................................................   335

§ 10.4.     Площадь поверхности тела вращения............................................   337

§ 10.5.     Интерполяционный многочлен Лагранжа...................................... . 339

§ 10.6.     Квадратурные формулы прямоугольников................................. .. 340

§ 10.7.     Формула Симпсона..........................................................................   341

   Глава   11.   Ряды..............................................................................................    343

§ 11.1.     Понятие ряда...................................................................................    343

§ 11.2.    Действия с рядами............................................................................    345

§ 11.3.     Ряды с неотрицательными членами................................................ . 346

§ 11.4.     Ряд Лейбница.................................................................................... . 350

§ 11.5.    Абсолютно сходящиеся ряды.......................................................... . 350

§ 11.6.    Условно и безусловно сходящиеся ряды с действительными

членами............................................................................................. .. 354

§ 11.7. Последовательности и ряды функций. Равномерная сходимость       356
§ 11.8.     Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся

рядов на отрезке ............................................................................. .. 362

§ 11.9. Кратные ряды. Перемножение абсолютно сходящихся рядов ..         368
§ 11.10.   Суммирование рядов и последовательностей методом средних

арифметических ...............................................................................    371

§ 11.11.   Степенные ряды...............................................................................      372

§ 11.12.  Дифференцирование и интегрирование степенных рядов............     377

§ 11.13.   Степенные ряды функций e^z,   cosz,   smz комплексной пере­
менной ..............................................................................................       380

   Глава   12.   Кратные интегралы...................................................................       383

§ 12.1.    Введение ...........................................................................................       383

§ 12.2.    Мера Жордана................................................................................. ..... 385

§ 12.3.     Важные примеры квадрируемых по Жордану множеств............ ..... 390

§ 12.4.     Еще один критерий измеримости множеств. Полярные коорди­
наты ................................................................................................... .... 392

§ 12.5.    Другие случаи измеримости............................................................ ..... 393

§ 12.6.     Понятие кратного интеграла...........................................................     394

§ 12.7.     Верхняя и нижняя интегральные суммы. Основная теорема ..... 397
§ 12.8.     Интегрируемость непрерывной функции на замкнутом измери­
мом множестве. Другие критерии   ..............................................................      403

§ 12.9.     Свойства кратных интегралов ....................................................... .... 404

§ 12.10.   Сведение кратного интеграла к интегрированию по отдельным

переменным.......................................................................................     406

§ 12.11.   Непрерывность интеграла по параметру......................................     412

§ 12.12.   Геометрическая интерпретация знака определителя....................     414

§12.13.   Замена переменных в кратном интеграле. Простейший случай         415

§ 12.14.   Замена переменных в кратном интеграле .....................................      417

§ 12.15.  Доказательство леммы 1 § 12.14...................................................... ... 420

§ 12.16.   Полярные координаты в плоскости.............................................. .... 424

§ 12.17.   Полярные и цилиндрические координаты в пространстве..........      426

§ 12.18.   Гладкая поверхность ......................................................................      428

§ 12.19.   Площадь поверхности..................................................................... ..... 431

   Глава   13.   Теория поля. Дифференцирование и интегрирова­
ние по параметру. Несобственные интегралы........................................     438

§ 13.1.     Криволинейный интеграл первого рода........................................     438

§ 13.2.     Криволинейный интеграл второго рода........................................     439

§ 13.3.     Поле потенциала.............................................................................. .... 442

§ 13.4.     Ориентация плоской области ........................................................      450

§ 13.5.     Формула Грина.   Выражение площади через криволинейный

интеграл............................................................................................. .... 451

§ 13.6.     Интеграл по поверхности первого рода........................................ .... 454

§ 13.7.     Ориентация поверхностей .............................................................      457

§ 13.8.     Интеграл по ориентированной плоской области.......................... ..... 461

§ 13.9.     Поток вектора через ориентированную поверхность..................     463

§ 13.10.  Дивергенция. Теорема Гаусса-Остроградского............................     466

§ 13.11.   Ротор вектора. Формула Стокса................................................... .... 472

§ 13.12.  Дифференцирование интеграла по параметру............................... .... 476

§ 13.13.   Несобственный интеграл ...............................................................      478