Правообладателям
Беседы о математике. Книга 1. Дискретные объекты. Болтянский В.Г., Савин А.П.
М.: ФИМА, МЦНМО, 2002. - 368 с.
Книга вводит читателей в круг идей современной математики. В популярной форме рассказывается о теории множеств, комбинаторике, теории графов, теории вероятностей и других вопросах.
Издание будет интересно учителям математики. специальная глава посвящена вопросам, связанным с поиском учащимися решений задач.
В то же время эта книга может служить основой курса математики для студентов гуманитарных специальностей, такой курс был прочитан авторами для психологов.
Учащиеся и учителя математических школ, лицеев и
гимназий могут использовать издание в качестве учебного пособия.
Формат: pdf / zip
Размер: 4,62 Мб
Скачать / Download файл
ПРЕДИСЛОВИЕ
Математика в системе наук
занимает особое место. Ее методами пользуются все существующие
науки. «Во всякой науке ровно столько науки, сколько в ней
математики» — в справедливости этого высказывания теперь никто уже
не сомневается.
Однако если достижения других наук — физики, химии, биологии,
астрономии — систематически освещаются в средствах массовой
информации и через короткое время попадают на страницы школьных
учебников, то о новых математических открытиях прочесть в газете или
журнале не удастся. Единственной математической теоремой, время от
времени появлявшейся в широкой печати, была Великая теорема Ферма.
Но и к ней исчез интерес у журналистов после появления ее
доказательства, занимающего сотни страниц и использующего аппарат,
недоступный среднему интеллигенту.
Причиной этому — дедуктивный характер математики. Для того, чтобы
понять то или иное достижение в алгебре, геометрии или теории
вероятностей, как правило, требуется знание огромного фундамента, на
котором появилось это достижение. К тому же математика выработала
свой специфический язык, овладение которым сродни овладению трудным
иностранным языком.
В конце 40-х годов XX века американские математики Р. Курант и Г.
Роббинс предприняли удачную попытку рассказать широкому кругу
читателей, в первую очередь учителям математики в школе и
школьникам, о содержании и методах современной математики в книге
«Что такое математика». Эта книга не раз издавалась и на русском
языке.
С тех пор прошло полвека и назрела необходимость еще раз попытаться
ответить на вопрос «Что такое математика?». Эта книга написана
именно с этой целью. Первый ее том «Дискретные объекты» вы держите в
руках. Вторым томом предполагается «Непрерывность», а третьим
«Экстремум».
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................................. 6
Беседа 1. Предмет математики ......................................................................... 6
1. Мнения о пользе математики ........................................................................... 6
2. Понятия математики и их возникновение ........................................................... 8
3. Некоторые виды абстракции ............................................................................... 9
4. Многоступенчатые абстракции ........................................................................ 11
5. Пространственные и пространственноподобные формы ................................. 13
6. Количественные отношения реального мира .................................................... 16
Глава I. МНОЖЕСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ ................................................... 20
Беседа 2. Конечные и бесконечные множества ............................................. 20
7. Множество и его элементы ............................................................................... 20
8. Взаимно однозначное соответствие .................................................................. 25
9. Счетные множества ........................................................................................ 28
10. Понятие мощности множества ........................................................................ 32
Беседа 3. Операции над множествами ............................................................. 38
11. Пересечение множеств .................................................................................... 38
12. Объединение множеств .................................................................................... 45
13. Дополнение множеств ..................................................................................... 51
14. Произведение множеств ................................................................................... 56
Беседа 4. Отображения ...................................................................................... 60
15. Общее понятие отображения и школьная математика .................................... 60
16. Некоторые виды отображений ......................................................................... 65
17. Обратное отображение .................................................................................... 69
18. Композиция отображений ............................................................................... 73
19. Классификация ............................................................................................. 80
Беседа 5. Упорядоченные множества .............................................................. 88
20. Понятие упорядоченного множества .............................................................. 88
21. Минимальные элементы и математическая индукция ..................................... 91
22. Трансфинитные числа и аксиома выбора ........................................................ 98
Глава II. КОМБИНАТОРИКА ........................................................................ 104
Беседа 6. Размещения, сочетания и родственные задачи ............................ 104
23. Размещения с повторениями ......................................................................... 104
24. Системы счисления ........................................................................................ 107
25. Размещения без повторений .......................................................................... 110
26. Сочетания без повторений ............................................................................ 113
27. Сочетания с повторениями ............................................................................ 116
28. Бином Ньютона ........................................................................................... 118
29. Производящие функции ................................................................................. 122
30. Принцип Дирихле .......................................................................................... 126
Беседа 7. События и вероятности .................................................................. 130
31. События ..................................................................................................... 130
32. Классическое понятие вероятности ............................................................... 134
33. Свойства вероятности .................................................................................... 140
34. Условная вероятность .................................................................................... 144
35. Независимые события и серии испытаний .................................................... 149
Беседа 8. Случайные величины ..................................................................... 156
36. Математическое ожидание и дисперсия ........................................................ 156
37. Нормальное распределение ........................................................................... 162
38. Закон больших чисел ................................................................................... 167
Беседа 9. Информация ..................................................................................... 170
39. Чет — нечет ............................................................................................... 170
40. Количество двоичных цифр ........................................................................... 172
41. Задачи на взвешивание ................................................................................... 176
42. Понятие об энтропии .................................................................................... 179
Беседа 10. Комбинаторные задачи о графах ................................................. 185
43. Графы и их элементы ..................................................................................... 185
44. Цепи и циклы в графах .................................................................................. 188
45. Плоские графы ........................................................................................... 194
46. Формула Декарта—Эйлера ............................................................................ 197
47. Правильные многогранники и паркеты ......................................................... 201
48. Проблема четырех красок ............................................................................. 208
49. Ориентированные графы ............................................................................... 210
50. Конечные позиционные игры ........................................................................ 214
51. Понятие о сетевом планировании ................................................................. 218
ГЛАВА III. РАССУЖДЕНИЯ ........................................................................... 221
Беседа 11. Теоремы .......................................................................................... 221
52. Существование и общность ........................................................................... 221
53. Структура теоремы ........................................................................................ 226
54. Отрицание ................................................................................................. 232
55. Необходимое и достаточное условие ............................................................ 237
56. Конъюнкция и дизъюнкция ............................................................................ 242
Беседа 12. Понятие об аксиоматическом методе ........................................ 248
57. Возникновение аксиоматического метода в математике ............................... 248
58. Метрические пространства ........................................................................... 252
59. Коммутативные группы .............................................................................. 256
Беседа 13. Непротиворечивость, независимость, полнота ......................... 262
60. Непротиворечивость и понятие модели ........................................................ 262
61. Математические примеры моделей ............................................................... 264
62. Построение аксиоматики геометрии ............................................................. 267
63. Геометрия Лобачевского ............................................................................... 270
64. Модель геометрии Лобачевского .................................................................. 274
65. Изоморфизм моделей ................................................................................... 276
66. Полнота аксиоматики .................................................................................. 279
Глава IV. ПОИСК РЕШЕНИЙ ........................................................................ 282
Беседа 14. Инсайт ............................................................................................. 282
67. Цикл озарения ............................................................................................. 282
68. Сфера достижимости ..................................................................................... 286
69. Анализ и синтез ........................................................................................... 291
70. Обратимый анализ ....................................................................................... 295
71. Анализ — поиск решения .............................................................................. 297
72. Поиск решения нестандартных задач ............................................................ 299
73. Соединение анализа с синтезом ..................................................................... 302
Беседа 15. Наглядность. Аналогия. Интуиция ............................................. 306
74. Формула наглядности — изоморфизм плюс простота .................................. 306
75. Наглядность и математическая эстетика ....................................................... 315
76. Аналогия — общность аксиоматики ............................................................. 320
77. Прогнозирование ..................................................................................... 326
78. Несколько слов о математической интуиции ................................................ 332
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ........................................................... 335
О том, как читать книги в форматах pdf, djvu - см. раздел "Программы; архиваторы; форматы pdf, djvu и др."
.
|
|
||
|
||